Применение новейших экономико-математических методов для решения задач

двух уравнений с двумя неизвестными, если система имеет следующий вид: Y=Ф(x) Y=Ш(x) (3) Преобразуем систему (3) в одно уравнение вида (4): Ф(x)- Ш(x)=0 (4) Полученное уравнение уже можно решить с помощью Подбор параметра… так как это было описано выше. Рассмотрим нахождение равновесной цены и объема продаж для рынка некоторого товара. Пусть функция спроса на товар имеет вид Qd=80e-0.05p-20, 0?p?30, а функция предложения Qs=12p-3e0.02p, 0?p?30. Найти равновесные цену и объем, построить графики спроса и предложения. Имеющуюся систему уравнений Qd=80e-0.05p-20 Qs=12p-3e0.02p преобразуем в одно уравнение вида 80e-0.05p-20 - 12p+3e0.02p=0. Подбор параметра… описанным выше, находим равновесную цену, она равна 4,049213, подставив это значение в одно из уравнений системы. Получим и значение равновесного объема - 45,33749 . Для построения графика, иллюстрирующего ситуацию равновесия спроса и предложения на рынке, воспользуемся знанием равновесной цены и возьмем значения в некоторой окрестности от нее. Получим следующую иллюстрацию решения задачи о равновесии на рынке (рис.6.).

рис.6. Глава №2 Матричная алгебра Матричная алгебра тесно связана с линейными функциями и с линейными ограничениями, в связи, с чем находит себе применение в различных экономических задачах: · в эконометрике, для оценки параметров множественных линейных регрессий; · при решении задач линейного программирования; · при макроэкономическом программировании и т.д. Особое отношение к матричной алгебре в экономике появилось после создания моделей типа «Затраты-Выпуск», где с помощью матриц технологических коэффициентов объясняется уровень производства в каждой отрасли через связь с соответствующими уровнями во всех прочих отраслях. Электронная таблица EXCEL имеет ряд встроенных функций для работы с матрицами: ТРАНСП транспонирование исходной матрицы; МОПРЕД вычисление определителя квадратной матрицы; МОБР вычисление матрицы обратной к данной; МУМНОЖ нахождение матрицы, являющейся произведением двух матриц. Кроме того, возможно выполнение операций поэлементного сложения (вычитания) двух матриц и умножения (деления) матрицы на число. На примере проиллюстрируем некоторые из этих функций. Найдем сумму двух матриц А(5*4) и В(5*4) и транспонируем матрицу-результат. 2.1 Сложение матриц

Задание #3 Для сложения двух матриц одинаковой размерности следует выполнить следующую последовательность действий: 1. Задать две исходных матрицы. 2. Отметить место для матрицы-результата. 3. В выделенном месте под результат поставить знак равенства и записать сумму так, как показано на рис.7.

рис.7. 4. Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter (рис.8.)

рис.8.

2.2 Транспонирование матрицы Работу с матричной функцией ТРАНСП следует выполнять в следующем порядке: 1. Задать исходную матрицу. 2. Отметить место для матрицы-результата. 3. Обратиться к мастеру функций, найти функцию ТРАНСП и выполнить постановку задачи (рис.9.).

рис.9.

4. Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter (рис.10.) .

рис.10.

2.4 Вычисление обратной матрицы Задание #4

Теперь найдем матричное выражение: Y=(FH-1)/29+K. Посчитаем определитель полученной матрицы. Поиск решения разобьем на ряд шагов: 1.Найдем матрицу обратную к матрице Н. 2.Умножим матрицы F и H-1. 3.Результат поделим на 29. 4.Сложим полученную матрицу с матрицей К. 5.Найдем определитель полученной матрицы. Работу с матричной функцией МОПРЕД следует выполнять в следующем порядке: 1.Задать исходную матрицу. 2.Отметить место для матрицы-результата. 3.Обратиться к мастеру функций, найти функцию МОПРЕД и выполнить постановку задачи (рис.11.).

рис.11. 5. Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter (рис.12.) .

рис.12.

2.4 Умножение матриц Надо умножить матрицы Н-1 и F. Это умножение возможно, так как число столбцов матрицы Н-1 совпадает с числом строк матрицы F. Выполним следующую последовательность действий: 1. Зададим матрицу F. 2. Отметим место под матрицу-результат. 3. Обратимся к мастеру функций, найдем функцию МУМНОЖ и выполним постановку задачи так, как показано на рис.13. H-1

рис.13. В качестве массива 1 указываем диапазон адресов матрицы Н-1, а в качестве массива 2 диапазон адресов матрицы F. Для получения результата нажмем одновременно клавиши Shift/Ctrl/Enter (рис.14.).

рис.14. 2.5 Умножение матрицы на число Для умножения матрицы на число следует выполнить следующие действия: 1. Задать исходную матрицу. 2. Отметить место для матрицы-результата. 3. В выделенном под результат месте электронной таблицы записать произведение так, как показано на рис.15.

рис.15. 4. Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter (рис.16.).

рис.16. 2.6 Сложение матриц Для сложения двух матриц одинаковой размерности следует выполнить следующую последовательность действий: 1.Задать две исходные матрицы. 2.Отметить место для матрицы-результата. 3.В выделенном под результат месте электронной таблицы записать сумму так, как показано на рис.17.

рис.17. 4.Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter (рис.18.).

рис.18. 2.7 Вычисление определителя матрицы Для вычисления определителя матрицы сформируем лист электронной таблицы: 1.Определим исходную матрицу. 2.Определим место под результат. 3.Обратимся к мастеру функций, найдем функцию МОПРЕД , выполним постановку задачи (рис.19.).

рис.19. 4.Щелкнув по кнопке ОК, получим значение определителя (рис.20.).

рис.20. 2.8 Системы линейных алгебраических уравнений Задание #5 Решение систем линейных алгебраических уравнений всегда занимало математиков и для их решения было разработано немало численных методов, подразделяющихся на прямые и итерационные. В EXCEL задача получения решения СЛАУ решается с помощью вышеописанных матричных функций, для чего исходную систему надо представить в виде матричного уравнения. Рассмотрим последовательность действий для получения решения СЛАУ на конкретном примере.

-12X1+12X2+23X3+6X4=120 -3X1+0.3X2-3X3+X4=-25 -67X1-3X2-51X3-73X4=536 (5) -91X1-6X2+4X3-13X4=-316

Для того, чтобы система (5) имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы, составленный из коэффициентов при переменных Х1, Х2, Х3, Х4, не был равен нулю. Рассчитаем определитель системы, пользуясь функцией МОПРЕД (рис.21.). Рассчитанное значение определителя системы равно 12. Оно не равно нулю и, следовательно, можно продолжать процесс поиска решения. Из линейной алгебры известна матричная запись системы уравнений и матричное представление решения. Перепишем систему (5) в виде

АХ=В, где -12 12 23 6 -3 0,3 -3 1 -67 -3 -51 -73 -91 -6 4 -13

Х1 Х2 Х3 Х4

120 -25 536 -316

тогда матричное решение уравнения выглядит так: Х=А-1В, где А-1 матрица обратная к исходной.

рис.21.