Количественные методы в управлении

для значения m = 700. Таблица №6. m-x40100200300400500600700x4f4(x4)/ F3(m-x4)02853709010612113500028537090106121135100202048739011012614120033336186103123139300424270951121324004848761011185005353811066005656847005858 m0100200300400500600700F4(m)028537390110126141z4(m)00000100100100 Сведем результаты в таблицу №7.

m0100200300400500600700F1(m)=f1(x1)02845657890102113z1=x10100200300400500600700F2(m)028537090106120133z2(m)00100100100200300300F3(m)028537090106121135z3(m)000000100100F4(m)028537390110126141z4(m)00000100100100 Теперь F4(700)=141 показывает максимальный суммарный эффект по всем 4-м фирмам, а z4(700)=100 - размер инвестиций в 4-ю фирму для достижения этого максимального эффекта. После этого на долю первых 3-х фирм осталось (700-100) и для достижения максимального суммарного эффекта по первым 3-м фирмам в 3-ю надо вложить 100 и т.д. Голубым цветом отмечены оптимальные значения инвестиций по фирмам и значения эффектов от них. Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям: х1*=300; х2*=200; х3*=100; х4*=100. Оно обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 141 тыс.руб.

2. Анализ финансовых операций и инструментов.

2.1 Принятие решений в условиях неопределенности.

Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) обдумывает четыре возможных решения. Но ситуация на рынке неопределенна, она может быть одной из четырех. С помощью экспертов ЛПР составляет матрицу доходов Q. Элемент этой матрицы q[i,j] показывает доход, полученный ЛПР, если им принято i-е решение, а ситуация оказалась j-я. В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые соображения о том, какое решение принять. Сначала построим матрицу рисков. Строится эта матрица так: в каждом столбце матрицы доходов находим максимальный элемент d[j] , после чего элементы r[i,j]=d[j]-q[i,j] и образуют матрицу рисков. Смысл рисков таков: если бы ЛПР знал что в реальности имеет место j-я ситуация, то он выбрал бы решение с наибольшим доходом, но он не знает, поэтому, принимая i-е решение он рискует недобрать d[j]-q[i,j] - что и есть риск.

матрица доходов

Варианты (ситуации)maxminВальдГурвиц: *max+ +(1-)*min; =1/3Решения0128802,672341010224,67046101003,322681212225,32 матрица рисков

Варианты (ситуации)maxСэвиджРешения256460342422222000000 Правило Вальда называют правилом крайнего пессимизма: ЛПР уверен, что какое-бы решение он ни принял, ситуация сложится для него самая плохая, так что, принимая i-е решение, он получит минимальный доход q[i]=min{q[i,j]:j=1..4}. Но теперь уже из чисел q[i] ЛПР выбирает максимальное и принимает соответствующее решение. По правилу Сэвиджа находят в каждой строке матрицы рисков максимальный элемент r[i] и затем из чисел r[i] находят минимальное и принимают соответствующее решение. По правилу Гурвица для каждой строки матрицы доходов находят величину z[i]=*max{q[i,j]:j=1..4}+(1-)*min{q[i,j]:j=1..4}, потом находят из чисел z[i] наибольшее и принимают соответствующее решение. Число каждый ЛПР выбирает индивидуально - оно отражает его отношение к доходу и риску, при приближении к 0 правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении к 1 - к правилу розового оптимизма, в нашем случае равно 1/3. Итак, по правилу Вальда нам следует принять либо 2-ое, либо 4-ое решение. Сэвидж и Гурвиц нам советуют принять 4-ое решение.

Пусть теперь нам известны вероятности ситуаций - p[j]. Имея матрицу доходов Q теперь можно сказать, что доход от i-го решения есть с.в. Q[i] с доходами q[i,j] и вероятностями этих доходов p[j]. Кроме того, риск i-го решения также есть с.в. R[i] с рисками r[i,j] и вероятностями этих рисков p[j]. Тогда М(Q[i]), М(R[i]) - средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск i-го решения. Принимать решение (проводить операцию) нужно такое, у которого наибольший средний ожидаемый доход, или наименьший средний ожидаемый риск.

Варианты (ситуации)М(Q[i]), М(R[i])Доходы01282234104046104268126Риски25644034222222200000p[j]1/31/31/61/6 М(Q[i])= (q[i,j]* p[j]) М(R[i])= (r[i,j]* p[j]) Голубым цветом выделен наибольший средний ожидаемый доход (4-ое решение), а красным цветом наибольший средний ожидаемый риск (4-ое решение). Как видим, они соответствуют одному и тому же решения. Его и следует принять. Операции: 1-я (4;2), 2-я (2;4), 3-я (2;4), 4-я (0;6).

Красным цветом высвечены доминируемые точки (операции), а зеленым недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето. Оптимальной по Парето является 4-я операция. Была проведена пробная операция, которая значительно сместила распределение вероятностей.

Варианты (ситуации)М(Q[i]), М(R[i])М*(Q[i]), М*(R[i])Доходы012827,22341049,2046104926812611Риски256443,8034221,8222222000000p[j]1/31/31/61/6p*[j]0,1000,9 Где p*[j] вероятности после проведения пробной операции. М*(Q[i]), М*(R[i]) средний ожидаемый доход и риск после проведения пробной операции. Максимально оправданная стоимость пробной операции равна М*(Q[i]) - М(Q[i])=11 6 = 5. Теперь выберем какие-нибудь две операции (1-ю и 4-ю), предположим, что они независимы друг от друга и найдем операцию, являющуюся их линейной комбинацией и более хорошую, чем какая-либо из имеющихся. 1-я операция = (4,2); 4-я операция = (0,6) Результат: нельзя подобрать такой операции, являющейся линейной комбинацией 1-ой и 4-ой операции, которая бы доминировала все имеющиеся операции. Пусть взвешивающая формула f(Q)=М[Q]/M[R], при M[R] не равным нулю, тогда для 1- 4 операций f1=0,5; f2=2; f3=2; f4= . Следовательно 4-я операция является самой лучшей (max=), а 1-я самая худшая.

2.2 Анализ доходности и рискованности финансовых операций.

Пусть доход от операции Q есть с.в., которую будем обозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание M[Q]=(q[i]*p[i]) называют еще средним ожидаемым доходом, а риск операции r = =D[Q]=(M[Q2]-M2[Q]) отождествляют со средним квадратическим отклонением.

номер операцииДоходы (Q) и их вероятности (Р)M[Q]r1015144,25,191/52/51/51/52246186,85,741/52/51/51/5308162088,721/21/81/81/44212182216,256,121/81/81/21/4 Необходимые расчеты:

Красным цветом высвечены доминируемые точки (операции), а зеленым недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето. Оптимальными по Парето являются 1-я,2-я и 4-я операции. Теперь выберем две операции (1-ю: Q1 и 4-ю: Q4), предположим, что они независимы друг от друга и выясним, нет ли операции, являющейся их линейной комбинацией и более хорошей, чем какая-либо из имеющихся. Пусть Q1 и Q4 две финансовые операции со средним ожидаемым доходом 4,2 и 16,25 и рисками 5,19 и 6,12 соответственно. Пусть t - какое-нибудь число между 0 и 1 . Тогда операция Qt=(1-t)Q1+tQ4 называется линейной комбинацией операций Q1,Q4. Средний ожидаемый доход операции Qt равен M[Qt] = 4,2* (1-t) + 16,25*t, а риск операции Qt равен rt =(26,94*(1-t)2+37,44*t2). Была найдена операция Q*, являющаяся линейной комбинацией