Исследование эмпирической зависимости

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

КУРСОВАЯ РАБОТА

ТЕМА: "Исследование эмпирической зависимости".

КУРС: "Математическое моделирование экономических процессов".

Студентки группы МФ-3-95 Франковской К. И.

____________________________________________________________________________МОСКВА 1998

План

1. Введение 2. Исходные данные 3. Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости 3.1. Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических координатах 3.2. Построение производной 3.3. Построение темпа производной 4. Исследование на приближение к степенной зависимости 4.1. Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости 4.2. Построение графика BX 4.3. Построение графика эмпирической последовательности в логарифмических координатах 5. Заключение 6. Используемая литература 7. Приложение

1. Введение

Анализ эмпирических данных используется в качестве анализа многих экономических показателей для возможности прогнозирования изменения этих показателей. Прогнозированием различной экономической динамики занимаются технический и фундаментальный анализы. Технический анализ по результатам исследования предоставляет конкретное решение по действиям, а на базе фундаментального анализа, можно построить прогноз динамики изменения конкретного показателя в будущем. В качестве исследуемой последовательности будет взят эмпирический набор экономических данных, имеющий растущую тенденцию изменения во времени. Данные исследования эмпирических данных будут проводиться с целью выявления некоторых функциональных зависимостей между ними, а также математической модели, к которой наиболее близко приближается эмпирическая зависимость. В данной курсовой работе будет проведен анализ двух эмпирических последовательностей на соответствие математическим моделям роста, таким как экспоненциальная зависимость и степенная зависимость.

2. Исходные данные

В качестве исходных последовательностей взяты статистические данные из книги "Историческая статистика Соединенных Штатов Америки" Эмиграция в США из Центральной Европы с 1886 по 1915 год и Эмиграция в США из СССР и стран Балтии с 1886 по 1915 год. График исходных данных представлен на листе 1 (см. Приложение). Эмиграция в США Эмиграция в США из Центральной Европы из СССР и стран Балтии (Венгрия, Австрия) (Литва, Эстония, Латвия, Финляндия)

3.Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости 3.1 Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических координатах

Уравнение экспоненциальной функции имеет следующий вид: X=Cekt , что является решением дифференциального уравнения: dX/dt = KX . Проинтегрировав это уравнение получим линейную зависимость lnX по t: lnX = kt + lnC . Эмиграция из Центральной Европы Эмиграция из СССР и стран Балтии

Формула, указанная выше позволяет нам сделать утверждение, что если данные последовательности эмпирических данных приближаются к экспоненте, то график зависимости lnX от времени должен находиться в линейном коридоре. Иными словами, если последовательность представляет собой экспоненциальную функцию, то ее график в полулогарифмических координатах спрямляется. По данному графику определяется темп роста, равный K = 2/1 = (lnX2 lnX1)/(t2-t1) , параметр lnC влияет на расположение прямой на плоскости. Графики зависимости lnX от t представлены на листе 2 (см. Приложение). Темп роста К, определенный по графикам, равен для графика зависимости Эмиграции в США из Центральной Европы 0,11, для графика зависимости Эмиграции из СССР и стран Балтии 0,13.

3.2 Построение производной Производная эмпирической последовательности рассчитывается по формуле:

X?(ti) = (Xi Xi-1)/(ti ti-1) .

Графики производной изображены на листе 3 (см. Приложение) и представляют собой колебания, имеющие увеличивающуюся амплитуду во времени. Это показывает на то, что скорость роста обеих эмпирических зависимостей во времени увеличивается. Эмиграция в США из Эмиграция в США из СССР и Центральной Европы стран Балтии

3.3 Построение темпа производной

График изменения темпа производной строится с использованием формулы: X?(ti)/X(ti) = (Xi Xi-1)/Xi(ti ti-1) . Эмиграция в США из Эмиграция в США из Центральной Европы СССР и стран Балтии

В результате построений получен график, представляющий собой колебания с различной амплитудой относительно прямой, равной темпу роста К, который характеризует скорость роста логарифма эмпирической последовательности.

4. Исследование на приближение к степенной зависимости

4.1 Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости

Степенная функция имеет вид: X = X0(t t0)B , который является решением дифференциального уравнения следующего вида: dX\dt = BX/(t t0) . Производная степенной функции равна: X? = BX0(t t0)B-1 . Темп роста степенной функции равен: X?/X = B/(t t0) , а обратный темп роста степенной функции имеет следующий вид: X/X? = (t t0)/B . Но график обратного темпа имеет очень сильные колебания, что не позволяет с большой точностью отследить тенденцию графика. В следствие этого будет построен график обратного темпа интеграла степенной функции, имеющий более сглаженные колебания и позволяющий достаточно точно определить тегнденцию графика. График обратного темпа интеграла в идеальном случае имеет вид прямой с коэффициентом наклона равным В, которая пересекает ось абсцисс в точке t0. Интеграл степенной функции вычисляется по формуле : Y = X?(t t0)B+1/B+1 . А обратный темп роста интеграла равен: Y?/Y = X/Y = (B+1)/(t t0) .

Коэффициент наклона прямой В может быть найден из графика по формуле: B = ctg - 1 , или, другими словами, разности отношения приращения аргумента (1) к приращению функции (2) и 1. Обратный темп интеграла степенной зависимости рассчитывается по формуле: Y/Y? = (Xt)/X . Эмиграция в США Эмиграция в США из Центральной Европы из СССР и стран Балтии

Полученные графики расположены на листе 5 (см. Приложение). Так как графики зависимостей не имеют ярко выраженной тенденции по приближению к степенной функции, в качестве искомой прямой была взята общая тенденция роста данного графика, полученная с помощью метода наименьших квадратов. На основе данных графиков получены следующие значения параметров прямой: Ё График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из Центральной Европы: t0 = 1877, B = 2.5 Ё График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из СССР и стран Балтии: t0 = 1875.5, B = 2.9

4.2 Построение графика BX

Для проверки правильности значений коэффициента наклона В и начального времени t0, построен график зависимости BX от времени. Полученые графики расположены на листе 6 (см. Приложение).